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        1. 已知各項均為正整數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1<4,an+1=2an+1,且對任意n∈N*恒成立.數(shù)列{an},{bn}滿足等式2(λn+bn)=2nλn+an+1(λ>0).

          (1)求證:數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,并求出{an}的通項公式;

          (2)求數(shù)列{bn}的前n項和Sn;

          (3)證明存在k∈N*,使得對任意n∈N*均成立.

          (1)證明:由an+1=2an+1得an+1+1=2(an+1),

          ∵a1>0,∴a1+1>1.∴{an+1}是等比數(shù)列.∵,

          ,即·對任意n∈N*恒成立.

          <4.∴a1≥3.∵a1<4,a1∈N*,∴a1=3.

          ∴an+1=4·2n-1,∴an=2n+1-1.

          (2)解:由2(λn+bn)=2nλn+an+1(λ>0),得bn=(n-1)λn+2n,

          設數(shù)列{(n-1)λn}的前n項的和為Tn,∴Tn2+2λ3+3λ4+…+(n-1)λn.

          λTn3+2λ4+…+(n-2)λn+(n-1)λn+1,(1-λ)Tn234+…+λn-(n-1)λn+1,

          當λ=1時,Tn=1+2+…+(n-1)=,當λ≠1時,Tn=,

          ∴Sn=

          (3)證明:存在k=1滿足題意,

          2n·λn+1≤(n-1)λn+2+4(n-1)λn+2nλ2.(*)

          當n≥2時,∵(n-1)λn+2+4(n-1)λn+2nλ2=(n-1)λn2+4)+2nλ2≥(n-1)λn·4λ+2nλ2>(4n-4)λn+1≥2nλn+1,

          又n=1時,(*)式成立.

          ∴對任意n∈N*,(*)式成立.

          練習冊系列答案
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          n
          i=1
          1
          1+ai
          1
          2
          對任意n∈N恒成立.數(shù)列{an},{bn}滿足等式2(λn+bn)=2nλn+an+1(λ>0).
          (1)求證數(shù)列{ an+l}是等比數(shù)列,并求出{an}的通項公式;
          (2)求數(shù)列{bn}的前n項和Sn;
          (3)證明存在k∈N,使得
          bn+1
          bn
          bk+1
          bk
          對任意n∈N均成立.

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          (2012•江蘇二模)已知各項均為正整數(shù)的數(shù)列{an}滿足an<an+1,且存在正整數(shù)k(k>1),使得a1+a2+…+ak=a1•a2…ak,an+k=k+an(n∈N*).
          (1)當k=3,a1a2a3=6時,求數(shù)列{an}的前36項的和S36;
          (2)求數(shù)列{an}的通項an
          (3)若數(shù)列{bn}滿足bnbn+1=-21•(
          12
          )an-8
          ,且b1=192,其前n項積為Tn,試問n為何值時,Tn取得最大值?

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          已知各項均為正整數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1<4,an+1=2an+1,且對任意n∈N*恒成立.數(shù)列{an}{bn}滿足等式2(λn+bn)=2nλn+an+1(λ>0).

          (1)求證:數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,并求出{an}的通項公式;

          (2)求數(shù)列{bn}的前n項和Sn

          (3)證明存在k∈N*,使得對任意n∈N*均成立.

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          已知各項均為正整數(shù)的數(shù)列{an}滿足an<an+1,且存在正整數(shù)k(k>1),使得a1+a2+…+ak=a1•a2…ak,an+k=k+an(n∈N*).
          (1)當k=3,a1a2a3=6時,求數(shù)列{an}的前36項的和S36;
          (2)求數(shù)列{an}的通項an
          (3)若數(shù)列{bn}滿足,且b1=192,其前n項積為Tn,試問n為何值時,Tn取得最大值?

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