Question

如圖，三棱錐D-ABC中，AB，BC，BD兩兩垂直，且AB=BC=2，點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，異面直線(xiàn)AD與BE所成角為θ．
（1）求證：AC⊥平面DBE；
（2）若cosθ=

10

10

，求三棱錐D-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）利用線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化證明AC⊥BE，AC⊥BD，再由線(xiàn)線(xiàn)垂直⇒線(xiàn)面垂直；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，給出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)D（0，0，x），再求出

AD

，

BE

的坐標(biāo)，根據(jù)cosθ=

10

10

，求得x，代入棱錐的體積公式計(jì)算．

解答：解：（1）證明：在△ABC中，∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形．
又點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，∴AC⊥BE．
∵AB，BC，BD兩兩垂直，∴BD⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴AC⊥BD，BD∩BE=B，
∴AC⊥平面DBE．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
則B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），E（1，1，0）
設(shè)D（0，0，x），

AD

=（0，-2，x），

BE

=（1，1，0）
cos＜

AD

，

BE

＞=

-2

2+x2 × 2

，∵cosθ=

10

10

，
∴

2

4+x2 × 2

=

10

10

⇒x=4，
∴V_D-ABC=

1

3

×

1

2

×2×2×4=

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線(xiàn)面垂直的判定，考查了用向量坐標(biāo)運(yùn)算求異面直線(xiàn)所成角的余弦值，利用向量方法解立體幾何問(wèn)題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系．