Question

若不等式8x⁴+8（a-2）x²-a+5＞0對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A．（

  1

  2

  ，5）
• B．（-∞，2）
• C．（2，+∞）
• D．（2，5）

Answer 1

分析：令f（x）=8x⁴+8（a-2）x²-a+5，通過對(duì)a分類討論利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，只要證明f（x）_min＞0即可得出．

解答：解：令f（x）=8x⁴+8（a-2）x²-a+5，則f′（x）=32x³+16（a-2）x=32x(x2+

a-2

2

)．
①當(dāng)a≥2時(shí)，令f′（x）=0，解得x=0．
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x0單調(diào)遞增；當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
因此，當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得極小值，即最小值，由題意f（0）=-a+5＞0，解得a＜5．
∴2≤a＜5．
②當(dāng)a＜2時(shí)，令f′（x）=0，解得x=0，±

2-a 2

．
令f′（x）＞0，解得-

2-a 2

＜x＜0，x＞

2-a 2

；令f′（x）＜0，解得x＜-

2-a 2

，0＜x＜

2-a 2

．
∴函數(shù)f（x）在x=±

2-a 2

時(shí)取得極小值．
由題意f（x）=8(

2-a

2

)2+8(a-2)•

2-a

2

-a+5＞0，化為2a²-7a+3＜0，解得

1

2

＜a＜3．
又a＜2，∴

1

2

＜a＜2．
綜上可知：a的取值范圍是

1

2

＜a＜5．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．