Question

已知等邊三角形OAB的邊長為（點O為坐標(biāo)原點），且三個頂點均在拋物線E：x²=2py（p＞0）上．
（I）求拋物線E的方程以及焦點的坐標(biāo)；
（II）若直線l₁與拋物線E相切于點A（x_A＜0），直線l₂與拋物線E相切于點B（x_B＞0），試求直線l₁，l₂的方程以及這兩條直線的交點坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題設(shè)知|OA|=8，BC邊和y軸的夾角為30°，設(shè)B（x，y），則x=|OB|sin30°=4，y=|OB|cos30°=12，由B（4，12）在x²=2py上，知，由此能求出拋物線方程．
（II）由（I）知A（-4，12），B（4，12），且y=，所以，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出直線l₁，l₂的方程以及這兩條直線的交點坐標(biāo)．
解答：解：（I）∵等邊三角形OAB的邊長為（點O為坐標(biāo)原點），
且三個頂點均在拋物線E：x²=2py（p＞0）上，
∴|OA|=8，BC邊和y軸的夾角為30°，
設(shè)B（x，y），則x=|OB|sin30°=4，y=|OB|cos30°=12，
∵B（4，12）在x²=2py上，∴，
∴p=2．
∴拋物線方程為x²=4y．
（II）由（I）知A（-4，12），B（4，12），且y=，
∴，
∴k_A==-2，
∴直線l₁的方程為y-12=-2（x+4），即2x+y+12=0．
=2，
∴直線l₂的方程為y-12=2（x-4），即2-y-12=0．
解方程組，得x=0，y=-12．
∴直線l₁，l₂的交點坐標(biāo)為（0，-12）．
點評：本題考查拋物線方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義的合理運用．