Question

若對于定義在R上的函數(shù)f(x)，其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0對任意實(shí)數(shù)都成立，則稱f(x)是一個(gè)“λ伴隨函數(shù)”．下列關(guān)于“λ伴隨函數(shù)”的結(jié)論：①f(x)＝0不是常數(shù)函數(shù)中唯一一個(gè)“λ伴隨函數(shù)”；②f(x)＝x不是“λ伴隨函數(shù)”；③f(x)＝x²是“λ伴隨函數(shù)”；④“伴隨函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是(  )

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

B

由題意得，①正確，如f(x)＝c≠0，取λ＝－1，則f(x－1)－f(x)＝c－c＝0，即f(x)＝c≠0是一個(gè)“λ伴隨函數(shù)”．②不正確，若f(x)＝x是一個(gè)“λ伴隨函數(shù)”，則f(x＋λ)＋λx＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾．③不正確，若f(x)＝x²是一個(gè)“λ伴隨函數(shù)”，則(x＋λ)²＋λx²＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾．④正確，若f(x)是“伴隨函數(shù)”，則f＋f(x)＝0，取x＝0，則f＋f(0)＝0，若f(0)、f任意一個(gè)為0，則函數(shù)f(x)有零點(diǎn)；若f(0)、f均不為0，則f(0)、f異號，由零點(diǎn)存在性定理知，在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)．所以有兩個(gè)結(jié)論正確．故選B.