Question

（2013•廣東）如圖1，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，AD=AE，F(xiàn)是BC的中點，AF與DE交于點G，將△ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐A-BCF，其中BC=

2

2

．
（1）證明：DE∥平面BCF；
（2）證明：CF⊥平面ABF；
（3）當(dāng)AD=

2

3

時，求三棱錐F-DEG的體積V_F-DEG．

Answer 1

分析：（1）在等邊三角形ABC中，由AD=AE，可得

AD

DB

=

AE

EC

，在折疊后的三棱錐A-BCF中也成立，故有DE∥BC，再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得DE∥平面BCF．
（2）由條件證得AF⊥CF ①，且BF=CF=

1

2

．在三棱錐A-BCF中，由BC=

2

2

，可得BC²=BF²+CF²，從而 CF⊥BF②，結(jié)合①②，證得CF⊥平面ABF．
（3）由（1）可知GE∥CF，結(jié)合（2）可得GE⊥平面DFG．再由 VF-DEG=VE-DFG=

1

3

•

1

2

•DG•FG•GE，運算求得結(jié)果．

解答：解：（1）在等邊三角形ABC中，AD=AE，∴

AD

DB

=

AE

EC

，在折疊后的三棱錐A-BCF中也成立，
∴DE∥BC．
又∵DE?平面BCF，BC?平面BCF，
∴DE∥平面BCF．
（2）在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且BF=CF=

1

2

．
∵在三棱錐A-BCF中，BC=

2

2

，∴BC²=BF²+CF²，∴CF⊥BF②．
又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．
（3）由（1）可知GE∥CF，結(jié)合（2）可得GE⊥平面DFG．
∴VF-DEG=VE-DFG=

1

3

•

1

2

•DG•FG•GE=

1

3

•

1

2

•

1

3

•(

1

3

•

3

2

)•

1

3

=

3

324

．

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理、直線和平面垂直的判定的定理的應(yīng)用，用等體積法求三棱錐的體積，屬于中檔題．