Question

試問(wèn)數(shù)列lg100，lg(100sin

π

4

)，lg(100sin2

π

4

)，…，lg(100sinn-1

π

4

)前多少項(xiàng)的和的值最大？并求這最大值．（lg2=0.301）

Answer 1

分析：根據(jù)題意得該數(shù)列的第k項(xiàng)的通項(xiàng)a_k，得到這個(gè)數(shù)列是遞減等差數(shù)列，且其首項(xiàng)為2．要使前k項(xiàng)的和最大，必須前k項(xiàng)都是正數(shù)或0，而從第k+1項(xiàng)起以后都是負(fù)數(shù)，得到a_k≥0且a_k+1＜0，解得k的取值范圍，求出正整數(shù)解得到k的值，然后利用等差數(shù)列的前k項(xiàng)和的公式得到和的最大值即可．

解答：解：該數(shù)列的第k項(xiàng)為：ak=lg(100sinn-1

π

4

)=2-

1

2

(k-1)lg2
所以這個(gè)數(shù)列是遞減等差數(shù)列，且其首項(xiàng)為2．
要使前k項(xiàng)的和最大，必須前k項(xiàng)都是正數(shù)或0，
而從第k+1項(xiàng)起以后都是負(fù)數(shù)因此，
k應(yīng)適合下列條件：

2- 1 2 (k-1)lg2≥0，(1) 2- 1 2 [(k-1)-1]lg2＜0，(2)

解此不等式組：由（1）得k≤14.2由（2）得k＞13.2
又k∈N，∴k=14
取k=14，前14項(xiàng)的和
S=

a1+a14

2

×14=28-

91

2

×0.3010≈14.30.

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)進(jìn)行對(duì)數(shù)的運(yùn)算，會(huì)根據(jù)要使數(shù)列前k項(xiàng)的和最大，必須前k項(xiàng)都是正數(shù)或0，而從第k+1項(xiàng)起以后都是負(fù)數(shù)列出不等式求出數(shù)列和的最大值．