Question

某系統(tǒng)采用低息貸款的方式對所屬企業(yè)給予扶持，該系統(tǒng)制定了評分標準，并根據(jù)標準對企業(yè)進行評估，然后依據(jù)評估得分將這些企業(yè)分別定為優(yōu)秀、良好、合格、不合格四個等級，并根據(jù)等級分配相應的低息貸款數(shù)額．為了更好地掌握貸款總額，該系統(tǒng)隨機抽查了所屬的部分企業(yè)，以下圖表給出了有關數(shù)據(jù)（將頻率看作概率）

評估得分	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）
評定類型	不合格	合格	良好	優(yōu)秀
貸款金額（萬元）	0	200	400	800

（1）任抽一家所屬企業(yè)，求抽到的企業(yè)等級是優(yōu)秀或良好的概率；
（2）對照標準，企業(yè)進行了整改，整改后，如果優(yōu)秀企業(yè)數(shù)量不變，不合格企業(yè)、合格企業(yè)、良好企業(yè)的數(shù)量成等差數(shù)列．要使所屬企業(yè)獲得貸款的平均值（即數(shù)學期望）不低于410萬元，那么整改后不合格企業(yè)占企業(yè)總數(shù)百分比的最大值是多少？

Answer 1

解：（1）設任意抽取一家企業(yè)，抽到不合格企業(yè)、合格企業(yè)、良好企業(yè)、優(yōu)秀企業(yè)的概率分別是p₁、p₂、p₃、p₄
則根據(jù)頻率分布直方圖可知：P₁=0.015×10=0.15
P₂=0.04×10=0.4，P₃=0.02×10=0.2，P₄=0.025×10=0.25
所以抽到的企業(yè)等級是優(yōu)秀或良好的概率P₃+P₄=0.2+0.25=0.45．
（2）設整改后，任意抽取一家企業(yè)，抽到不合格企業(yè)、合格企業(yè)、良好企業(yè)的概率分別為a，b，c
因為整改后不合格企業(yè)、合格企業(yè)、良好企業(yè)的數(shù)量成等差數(shù)列
所以a，b，c也成等差數(shù)列即2b=a+c
又因為a+b+c+0.25=1
所以b=0.25，a+c=0.5
設整改后一家企業(yè)獲利的低息貸款為ξ，則ξ的分布列為

ξ	0	200	400	800
P	a	0.25	c	0.25

所以Eξ=450-400a
∵Eξ≥410，
∴a≤10%
∴整改后不合格企業(yè)占企業(yè)總數(shù)百分比的最大值是10%．
分析：（1）設任意抽取一家企業(yè)，抽到不合格企業(yè)、合格企業(yè)、良好企業(yè)、優(yōu)秀企業(yè)的概率分別是p₁、p₂、p₃、p₄．則根據(jù)頻率分布直方圖可求出p1、p2、p3、p4
進而計算出抽到的企業(yè)等級是優(yōu)秀或良好的概率．
（2）設整改后，任意抽取一家企業(yè)，抽到不合格企業(yè)、合格企業(yè)、良好企業(yè)的概率分別為a，b，c由題意得2b=a+c．又因為a+b+c+0.25=1所以b=0.25，a+c=0.5．
設整改后一家企業(yè)獲利的低息貸款為ξ，計算出ξ的分布列根據(jù)有關公式計算出Eξ=450-400a，因為Eξ≥410，所以a≤10%．
點評：本題主要考查頻率分布直方圖、隨機變量的分布列及數(shù)學期望等概率與統(tǒng)計的基礎知識，考查運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、分析與解決問題能力及必然與或然的數(shù)學思想、應用意識等．