Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)D在邊BC上，AD⊥C₁D。

（I）求證：AD⊥平面BCC₁B₁；
（II）設(shè)E是B₁C₁上的一點(diǎn)，當(dāng)的值為多少時，A₁E∥平面ADC₁？請給出證明。

Answer 1

解：（I）在正三棱柱中，CC₁⊥平面ABC，AD平面ABC，
∴AD⊥CC₁              
又AD⊥C₁D，CC₁交C₁D于C₁，
且CC₁和C₁D都在面BCC₁B₁內(nèi)，
∴AD⊥平面BCC₁B₁；
（II）由（I），得AD⊥BC
在正三角形ABC中，D是BC的中點(diǎn)
當(dāng)=1，即E為B₁C₁的中點(diǎn)時，A₁E∥平面ADC₁
事實(shí)上，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形BCC₁B₁是矩形，
且D、E分別是BC，BC₁B₁的中點(diǎn)，
所以BB₁∥DE且BB₁=DE
又BB₁∥AA₁，且BB₁=AA₁，
∴AA₁∥DE，且AA₁=DE
所以四邊形AA₁DE為平行四邊形，
所以A₁E∥AD
而A₁E在平面ADC₁外，
故A₁E∥平面ADC₁。