Question

（1991•云南）設(shè)函數(shù)f（x）=x²+x+

1

2

的定義域是{n，n+1}（n是自然數(shù)），那么在f（x）的值域中共有

2n+2

個(gè)整數(shù)．

Answer 1

分析：f（x）的對稱軸是x=-

1

2

，當(dāng)n≥1時(shí)，f（x）在[n，n+1]上是單調(diào)遞增的，因?yàn)閒（n）和f（n+1）都不是整數(shù)，故f（x）的值域中的整數(shù)個(gè)數(shù)問題只要計(jì)算f（n+1）-f（n）即可；n=0時(shí)，值域?yàn)閇f（0），f（1）]．

解答：解：當(dāng)n≥1時(shí)，f（x）在[n，n+1]上是單調(diào)遞增的，
f（n+1）-f（n）=（n+1）²+（n+1）+

1

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-n²-n-

1

2

=2n+2，故f（x）的值域中的整數(shù)個(gè)數(shù)是2n+2，
n=0時(shí)，值域?yàn)閇f（0），f（1）]=[

1

2

，

5

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]，有1，2兩個(gè)整數(shù)．
故答案為：2n+2

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的值域問題，對問題的化歸轉(zhuǎn)化能力．