Question

已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，拋物線上的點(diǎn)到的距離為2，且的橫坐標(biāo)為1．直線與拋物線交于，兩點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）當(dāng)直線，的傾斜角之和為時(shí)，證明直線過定點(diǎn).

 

Answer 1

（1）；（2）直線恒過定點(diǎn)，證明詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)拋物線方程為，由拋物線的定義及即可求得的值；（2）先設(shè)點(diǎn)，，然后將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去得，根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系表示出，設(shè)直線，的傾斜角分別為，斜率分別為，則，進(jìn)而根據(jù)正切的兩角和公式可知，其中，，代入求得和的關(guān)系式，此時(shí)使有解的有無數(shù)組，把直線方程整理得，推斷出直線過定點(diǎn).

試題解析：（1）設(shè)拋物線方程為

由拋物線的定義知，又 2分

所以，所以拋物線的方程為 4分

（2）設(shè)，

聯(lián)立，整理得（依題意）

， 6分

設(shè)直線，的傾斜角分別為，斜率分別為，則

8分

其中，，代入上式整理得

所以即 10分

直線的方程為，整理得

所以直線過定點(diǎn) 12分.

考點(diǎn)：1.拋物線的定義與方程；2.直線與拋物線的綜合問題；3.二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.