Question

【題目】已知函數(shù) .

(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，且函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，若當(dāng)時(shí)， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出時(shí)， 的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；

（2）令，求得，令，求出導(dǎo)數(shù)，令，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)性，可得的最大值，當(dāng)時(shí)，，求出的單調(diào)性，由條件，即可得到的范圍.

解:(1)當(dāng)時(shí)， 的定義域?yàn)?/span>，

.

，

又，曲線在處的切線方程為.

(2)令，則 ，

即，令，

則 .

令，，

，在上是減函數(shù)，

又，所以當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

.

當(dāng)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)， .

當(dāng)時(shí)， ，

若，恒成立，只需.

，令得或，

，

數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞

減，在上單調(diào)遞增，又，

，

，

即，，

，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.