Question

已知直線（2lna）x+by+1=0與曲線x²+y²-2x+2y+1=0交于A、B兩點，當|AB|=2時，點P（a，b）到直線2x-y+4=0距離的最小值等于______．

Answer 1

∵曲線x²+y²-2x+2y+1=0，
∴曲線（x-1）²+（y+1）²=1是圓心坐標為（1，-1），半徑為1的圓，
∵直線（2lna）x+by+1=0與曲線x²+y²-2x+2y+1=0交于A、B兩點，|AB|=2，
∴直線（2lna）x+by+1=0過圓心（1，-1），
∴2lna-b+1=0．
∴b=1+2lna，
P（a，b）到直線2x-y+4=0距離
d=

|2a-b+4|

5

=

|2a+3-2lna|

5

，
設f（a）=2a+3-2lna，
f′（a）=2-

2

a

，
令f′（a）=0，得a=1．
∴

1

2

＜a＜1，f′（a）＜0，f（a）遞減，a＞1，f′（a）＞0，f（a）遞增，
∴f（a）_min=f（1）=5，
∴d_min=

5

5

=

5

，
∴a=1時，P（a，b）到直線2x-y+4=0距離最小值為

5

．
故答案為：

5

．