Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求過點且與曲線相切的直線方程；

（Ⅱ）設(shè)，其中為非零實數(shù)，若有兩個極值點，且，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析

【解析】試題分析: （Ⅰ）設(shè)切點，根據(jù)導數(shù)幾何意義得切線斜率等于切點處導數(shù)值，切點在切線上也在曲線上列方程組，可解得切點坐標，根據(jù)點斜式寫出切線方程，（Ⅱ）先根據(jù)導數(shù)確定有兩個極值點的條件:，并求出極值點，再研究函數(shù)，此時先將用表示，轉(zhuǎn)化為證明一元函數(shù)在上最小值大于零，這可以利用導數(shù)易得.

試題解析:解：（Ⅰ）

設(shè)切點為，則切線的斜率為

點在上，

，解得

切線的斜率為，切線方程為

（Ⅱ）

當時，即時，在上單調(diào)遞增；

當時，由得，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當時，由得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

當時，有兩個極值點，即，

，由得，

由

，即證明

即證明

構(gòu)造函數(shù)，

在上單調(diào)遞增，

又，所以在時恒成立，即成立

.