Question

已知函數(shù)，．
(1)若，求函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時(shí)恒成立，求的取值范圍；
(3)若，求證：．

Answer 1

(1) - (2)  (3)見解析

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
(1) 函數(shù)，．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823225409475391.png" style="vertical-align:middle;" />，求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得到極值；
(2)當(dāng)時(shí)恒成立，只要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性得到證明。
(3) 由（2）知當(dāng)時(shí)有即
所以
然后利用放縮法的思想得到證明。．
解：（1）極大值為，極小值為…………………….4分
（2）設(shè)
         
注意到
若即，，使

	遞減，
	遞減，
	遞減，

這與題目要求矛盾.
若即， 當(dāng)時(shí)，進(jìn)而在上遞增，從而，于是上遞增，所以，故在上遞增，所以恒成立，滿足題目要求.
綜上所述，的取值范圍是………………………………………………..9分
（3）由（2）知當(dāng)時(shí)有即
所以
從而

證畢……………………14分