Question

對于函數(shù)y=f（x），若同時滿足下列條件：
①函數(shù)y=f（x）在定義域D內(nèi)是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減函數(shù)；
②存在區(qū)間[a，b]⊆3D，使函數(shù)f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]，則稱f（x）是D上的閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)f（x）=-x³符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）判斷函數(shù)g（x）=

3

4

x+

1

x

，在區(qū)間（0，+∞）上是否為閉函數(shù)；
（3）若函數(shù)φ（x）=k+

x+2

是閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)f（x）=-x³在R上為單調(diào)減函數(shù)的特點，由f（a）=b，f（b）=a列方程即可解得a，b
（2）根據(jù)求導(dǎo)公式求出g′（x），并求出g（x）的單調(diào)區(qū)間，判斷其在（0，+∞）不具有單調(diào)性，再據(jù)閉函數(shù)的定義判斷；
（3）函數(shù)φ（x）=k+

x+2

在[-2，+∞）單調(diào)遞增，根據(jù)閉函數(shù)的定得f（a）=a，f（b）=b，列出方程組后得：a、b是此方程組的解，再對k進(jìn)行分類討論，分別轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題，列對應(yīng)的不等式即可得k的取值范圍．

解答：解：（1）∵y=-x³是[a，b]上的減函數(shù)，
∴

f(a)=-a3=b f(b)=-b3=a.

∴

b

a

=

-a3

-b3

=(

a

b

)3．
∴（

a

b

)4=1，∴

a

b

=±1
又∵-a³=b，∴

a=-1 b=1

．
∴所求區(qū)間為[-1，1]．
（2）∵g′（x）=

3

4

-

1

x2

，x∈（0，+∞），
令g′（x）=

3

4

-

1

x2

＞0，得x＞

2 3

3

，
∴x＞

2 3

3

時，g（x）為（

2 3

3

，+∞）上的增函數(shù)．
令g′（x）=

3

4

-

1

x2

＜0，得0＜x＜

2 3

3

∴g（x）為（0，

2 3

3

）上的減函數(shù)．
∴g（x）不是（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)．
∴g（x）不是（0，+∞）上的閉函數(shù)．
（3）易知φ（x）是[-2，+∞]上的增函數(shù)．
設(shè)φ（x）=k+

x+2

滿足條件②的區(qū)間是[a，b]，
∴

?(a)=k+ a+2 =a ?(b)=k+ b+2 =b.

即a，b是方程x=k+

x+2

的兩個不等實根．
也就是方程組

x2-(2k+1)x+(k2-2)=0 x≥-2 x≥k

有兩個不等實根a，b．
①當(dāng)k≤-2時，方程x²-（2k+1）+（k²-2）=0在[-2，+∞）上有兩個不等實根．
∴

2k+1 2 ＞-2 △=(2k+1)2-4(k2-2)＞0 (-2)2-(2k+1)(-2)+(k2-2)≥0.

解得：-

9

4

＜k≤-2．
②當(dāng)k＞-2時，方程x²-（2k+1）x+（k²-2）=0在[k，+∞）上有兩個不等實根．
∴

2k+1 2 ＞k △=(2k+1)2-4(k2-2)＞0 k2-(2k+1)k+(k2-2)≥0.

解得：-

9

4

＜k≤-2，與條件k＞-2矛盾．
∴φ（x）=k+

x+2

是閉函數(shù)，實數(shù)k的取值范圍是-

9

4

＜k≤-2．

點評：本題考查了新定義型函數(shù)的理解和運用能力，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，以及問題的等價轉(zhuǎn)化能力和分類討論思想．