Question

已知函數(shù)，（）
（1）若函數(shù)存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)且時(shí)，令，()，()為曲線y=上的兩動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，能否使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上？請說明理由

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（3）對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上總存在兩點(diǎn)，滿足條件.

試題分析：（1）求，要函數(shù)由極值，也就是有實(shí)數(shù)解，由于是關(guān)于的二次函數(shù)，則由便求得的取值范圍；（2）求，需要對實(shí)數(shù)進(jìn)行分類討論，或，在這兩種情況下分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意分類討論問題，應(yīng)弄清對哪個(gè)字母分類討論，分類應(yīng)不重不漏；（3）是探索性問題，要說明存在是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
且斜邊中點(diǎn)在y軸上，需要證明，該方程有解，要對進(jìn)行分類討論分別說明.
試題解析：（1），若存在極值點(diǎn)，
則有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根.
所以，解得 .
（2），
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
當(dāng)且時(shí)，
假設(shè)使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上.
則且.
不妨設(shè).故，則.
，該方程有解，
當(dāng)時(shí)，，代入方程得，
即，而此方程無實(shí)數(shù)解；
當(dāng)時(shí)，則；
當(dāng)時(shí)，，代入方程得，即，
設(shè)，則在上恒成立.
∴在上單調(diào)遞增，從而，則值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030334893546.png" style="vertical-align:middle;" />.
∴當(dāng)時(shí)，方程有解，即方程有解.
綜上所述，對任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上總存在兩點(diǎn)，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上.