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        1. 已知函數(shù)f(x)=2+lnx-1.

          (1)試證明x0∈(1,2),使得f(x0)=0;

          (2)已知不等式f(x)-m≤0,對x∈(0,e](e=2.718…)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;

          (3)求證:在區(qū)間(1,+∞)上,函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=x3的圖象的下方.

          (1)證明:∵f(1)=-1=<0,f(2)=1+ln2>0,

          ∴f(1)·f(2)<0且函數(shù)f(x)在(1,2)上連續(xù).

          ∴函數(shù)f(x)在(1,2)上有零點,即x0∈(1,2),使得f(x0)=0.

          (2)解:f′(x)=x+,

          當x∈(0,e]時,f′(x)>0,

          ∴函數(shù)f(x)在(0,e]上為增函數(shù).

          ∴f(x)max=f(e)=e2.

          不等式f(x)-m≤0,對x∈(0,e]恒成立等價于m≥f(x)max,x∈(0,e].

          ∴m≥e2.

          (3)證明:令F(x)=f(x)-g(x)=x2+lnx-1x3,

          則F′(x)=x+-2x2==.

          ∵當x>1時F′(x)<0,

          ∴函數(shù)F(x)在區(qū)間(1,+∞)上為減函數(shù).

          ∴F(x)<F(1)=-1<0,

          即在(1,+∞)上,f(x)<g(x).

          ∴在區(qū)間(1,+∞)上,函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=x3的圖象的下方.

          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          2-xx+1
          ;
          (1)求出函數(shù)f(x)的對稱中心;
          (2)證明:函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為減函數(shù);
          (3)是否存在負數(shù)x0,使得f(x0)=3x0成立,若存在求出x0;若不存在,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          2-x-1,x≤0
          x
          ,x>0
          ,則f[f(-2)]=
          3
          3

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
          3
          2
          )cosx-sin3x

          (1)求函數(shù)f(x)的值域和最小正周期;
          (2)當x∈[0,2π]時,求使f(x)=
          3
          成立的x的值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=2-
          ax+1
          (a∈R)
          的圖象過點(4,-1)
          (1)求a的值;
          (2)求證:f(x)在其定義域上有且只有一個零點;
          (3)若f(x)+mx>1對一切的正實數(shù)x均成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          2-2cosx
          +
          2-2cos(
          3
          -x)
          ,x∈[0,2π],則當x=
          3
          3
          時,函數(shù)f(x)有最大值,最大值為
          2
          3
          2
          3

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