Question

（2008•黃岡模擬）設函數f（x）=ax³-2bx²+cx+4d （a、b、c、d∈R）圖象關于原點對稱，且x=1時，f（x）取極小值-

2

3

．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）當x∈[-1，1]時，圖象上是否存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直？證明你的結論；
（3）若x₁，x₂∈[-1，1]時，求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤

4

3

．

Answer 1

分析：（1）根據奇偶性判斷b、d的值，再有在1處的極值求出a、c．
（2）用假設法證明．對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在x₁，x₂，則f'（x₁）•f'（x₂）=-1，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
（3）函數在1和-1處取代極值，判斷其為最值，根據兩最值之差最大，證明問題．

解答：解：（1）∵函數f（x）圖象關于原點對稱，∴對任意實數x，都有f（-x）=-f（x）．
∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d，即bx²-2d=0恒成立．
∴b=0，d=0，即f（x）=ax³+cx．∴f′（x）=3ax²+c．
∵x=1時，f（x）取極小值-

2

3

．∴f′（1）=0且f（1）=-

2

3

，
即3a+c=0且a+c=-

2

3

．解得a=

1

3

，c=-1．
（2）當x∈[-1，1]時，圖象上不存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直
證明：假設存在x₁，x₂，則f'（x₁）•f'（x₂）=-1
所以（x₁²-1）（x₂²-1）=-1
因為x₁，x₂∈[-1，1]所以x₁²-1，x₂²-1∈[-1，0]
因此（x₁²-1）（x₂²-1）≠-1
所以不存在．
（3）證明：∵f′（x）=x²-1，由f′（x）=0，得x=±1．
當x∈（-∞，-1）或（1，+∞）時，f′（x）＞0；當x∈（-1，1）時，f′（x）＜0．
∴f（x）在[-1，1]上是減函數，且f_max（x）=f（-1）=

2

3

，f_min（x）=f（1）=-

2

3

．
∴在[-1，1]上，|f（x）|≤

2

3

．
于是x₁，x₂∈[-1，1]時，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=

2

3

+

2

3

=

4

3

．
故x₁，x₂∈[-1，1]時，|f（x₁）-f（x₂）|≤

4

3

．

點評：本題主要考查了函數在某點取得極值的條件，以及利用導數求閉區(qū)間上函數的最值，同時考查了分析問題的能力和轉化的數學思想，屬于中檔題．