Question

【題目】以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題,

①雙曲線與橢圓有相同的焦點；

②在平面內(nèi)，設(shè)為兩個定點，為動點，且，其中常數(shù)為正實數(shù)，則動點的軌跡為橢圓；

③方程的兩根可以分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

④過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于兩點，若，則這樣的直線有且僅有3條.

其中真命題的個數(shù)為（ ）

A. 4B. 3C. 2D. 1

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)，焦點、離心率等知識來判定四個選項

①在雙曲線中，，則雙曲線的焦點坐標(biāo)為，在橢圓中，，則橢圓的焦點坐標(biāo)為，則它們的焦點不相同，故錯誤；

②在平面內(nèi)，設(shè)為兩個定點，為動點，且，其中常數(shù)為正實數(shù)，則動點的軌跡為橢圓，錯誤。當(dāng)，則動點的軌跡為橢圓；當(dāng)時，則動點的軌跡為線段，當(dāng)時，則動點的軌跡不存在；

③方程的兩根可以分別作為橢圓和雙曲線的離心率，因為橢圓的離心率在內(nèi)，雙曲線的離心率大于1，故正確；

④當(dāng)過右焦點垂直于軸的直線與雙曲線的右支的交點為 ，，

所以與右支有兩個交點時，只有一條直線；

，則過右焦點與雙曲線左右支各一個交點時，滿足此時有2條直線，一共有3條直線，故正確

綜上真命題的個數(shù)為2個

故選C