Question

已知拋物線y²=4x，過點(diǎn)M（0，2）的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且直線l與x軸交于點(diǎn)C．
（1）若以A，B為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求此時(shí)的直線l的方程；
（2）求證：|MA|，|MC|，|MB|成等比數(shù)列；
（3）設(shè)=，=，試問α+β是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)l的方程為y=kx+2（k≠0）與拋物線y²=4x聯(lián)立，利用以A，B為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，可得x₁x₂+y₁y₂=0，從而可求直線l的方程；
（2）證明|MC|²=|MA||MB|≠0，即可得到|MA|，|MC|，|MB|成等比數(shù)列；
（3）由=，=，得，，結(jié)合韋達(dá)定理，可得結(jié)論．
解答：（1）解：設(shè)l的方程為y=kx+2（k≠0）與拋物線y²=4x聯(lián)立，可得k²x²+（4k-4）x+4=0
由△＞0，k≠0，可得且k≠0
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則①，②
∵以A，B為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0
∴
∴
∴此時(shí)的直線l的方程為x+2y-4=0；
（2）證明：∵|MA||MB|=•=
=
∴|MC|²=|MA||MB|≠0
∴|MA|，|MC|，|MB|成等比數(shù)列；
（3）解：由=，=，得，
∴α+β=
把①②代入，可得α+β=-1，即α+β為定值-1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查等比數(shù)列的證明，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．