Question

已知函數(shù)的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線．當(dāng)時(shí)，該圖象是斜率為的線段（其中正常數(shù)），設(shè)數(shù)列由定義．  求：

求和的表達(dá)式；

求的表達(dá)式，并寫出其定義域；

 證明：的圖像與的圖象沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn)．

Answer 1

【小題1】依題意，又由，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是斜率為的線段，故由得

又由，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是斜率為的線段，故由

，即得

記由函數(shù)的圖象中第段線段的斜率為，故得

又

∴

由此知數(shù)列為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為

因，得 

即

【小題2】當(dāng)時(shí)，從（1）可知，即當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由（1）可知

為求函數(shù)的定義域，須對(duì)進(jìn)行討論．

當(dāng)時(shí)，

時(shí)，，也趨向于無(wú)窮大．

綜上，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?img width=63 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/19/192819.gif">

當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?img width=51 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/22/192822.gif">

【小題3】證法1  首先證明當(dāng)時(shí)，恒有成立．

對(duì)任意的，存在使，此時(shí)有

又

即有成立．

其次，當(dāng)，仿上述證明，可知當(dāng)時(shí)，恒有成立．

故函數(shù)的圖象與的圖象沒有橫會(huì)標(biāo)大于1的交點(diǎn)．

解析:

本題主要考查函數(shù)的基本概念、等比數(shù)列、數(shù)列極限的基礎(chǔ)知識(shí)，考查歸納、推理和綜合的能力．

【小題1】由斜率分式求出，同樣由斜率公式求出關(guān)于的遞推式，然后求出，

【小題2】由點(diǎn)斜式求出段的的表達(dá)式，用極限的方法求出定義域．

【小題3】與沒有交點(diǎn)，只要時(shí)，或時(shí)恒成立，當(dāng)，由于，只要證