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        1. 已知函數(shù)f(x)=ex-kx,(k∈R,x∈R)
          (Ⅰ)若k=e,試確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (Ⅱ)若k>0,且對(duì)于任意x≥0,f(x)>0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
          (Ⅲ)令g(x)=ex-2lnx,若至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0∈[1,e],使f(x0)<g(x0)成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
          分析:(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),只要解導(dǎo)數(shù)的不等式即可,根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性;
          (Ⅱ)f′(x)=ex-k,由f′(x)=0,得到x=lnk.再對(duì)k進(jìn)行分類討論,得到f(x)在[0,+∞)上的最小值,讓最小值大于0解出k即可;
          (Ⅲ)由于存在x0∈[1,e],使f(x0)<g(x0),則kx0>2lnx0k>
          2lnx0
          x0
          ,只需要k大于F(x)=
          2lnx
          x
          的最小值即可.
          解答:解:(Ⅰ)f′(x)=ex-e,令f′(x)=0,解得x=1
          當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,∴f(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增;
          當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),f′(x)<0,∴f(x)在(-∞,1)單調(diào)遞減.
          f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,1).   
          (Ⅱ)f′(x)=ex-k,令f′(x)=0,解得x=lnk.                     
          ①當(dāng)k∈(0,1]時(shí),f′(x)=ex-k>1-k≥0(x>0).此時(shí)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.
          f(x)≥f(0)=1>0,符合題意.                        
          ②當(dāng)k∈(1,+∞)時(shí),lnk>0.當(dāng)x變化時(shí)f′(x),f(x)的變化情況如下表:
          x (0,lnk) lnk (lnk,+∞)
          f′(x) - 0 +
          f(x) 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增
          由此可得,在[0,+∞)上,f(x)≥f(lnk)=k-klnk.              
          依題意,k-klnk>0,又k>1,1<k<e.
          綜合①,②得,實(shí)數(shù)k的取值范圍是0<k<e.                    
          (Ⅲ)由于存在x0∈[1,e],使f(x0)<g(x0),
          則kx0>2lnx0
          k>
          2lnx0
          x0

          F(x)=
          2lnx
          x
          ,則F′(x)=
          2(1-lnx)
          x2

          當(dāng)x∈[1,e]時(shí),F(xiàn)′(x)≥0(僅當(dāng)x=e時(shí)取等號(hào))
          ∴F(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,
          ∴F(x)min=F(1)=0,因此k>0.
          點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、最值和中的應(yīng)用,考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法以及分析問題的能力.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          1
          x
          |,則函數(shù)y=f(x+1)的大致圖象為( 。

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          (Ⅱ)求f(x)在[-π,+∞)上的最大值與最小值.

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          已知函數(shù)f(x)=e-x(x2+x+1).
          (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
          (Ⅱ)求函數(shù)f(x)在[-1,1]上的最值.

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