Question

【題目】已知函數(shù) （a＞0，a≠1）是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并給出證明；
（3）當(dāng)x∈（n，a﹣2）時，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），求實數(shù)a與n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù) （a＞0，a≠1）是奇函數(shù)．

∴f（﹣x）+f（x）=0解得m=﹣1．

（2）解：由（1）及題設(shè)知： ，

設(shè) ，

∴當(dāng)x1＞x2＞1時，

∴t1＜t2．

當(dāng)a＞1時，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．

∴當(dāng)a＞1時，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．

同理當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．

（3）解：由題設(shè)知：函數(shù)f（x）的定義域為（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），

∴①當(dāng)n＜a﹣2≤﹣1時，有0＜a＜1．由（1）及（2）題設(shè)知：f（x）在為增函數(shù)，由其值域為（1，+∞）知 （無解）；

②當(dāng)1≤n＜a﹣2時，有a＞3．由（1）及（2）題設(shè)知：f（x）在（n，a﹣2）為減函數(shù)，由其值域為（1，+∞）知

得 ，n=1

【解析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義可知f（﹣x）+f（x）=0，建立關(guān)于m的等式關(guān)系，解之即可；（2）先利用函數(shù)單調(diào)性的定義研究真數(shù)的單調(diào)性，討論a的取值，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進行判定；（3）先求函數(shù)的定義域，討論（n，a﹣2）與定義域的關(guān)系，然后根據(jù)單調(diào)性建立等量關(guān)系，求出n和a的值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點的相關(guān)知識，掌握過定點（1，0），即x=1時，y=0;a>1時在（0，+∞）上是增函數(shù);0>a>1時在（0，+∞）上是減函數(shù)．