Question

曲線y=lnx上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0的最短距離是

 

．

Answer 1

分析：直線2x-y+3=0在曲線y=lnx上方，把直線平行下移到與曲線相切，切點(diǎn)到直線2x-y+3=0的距離即為所求的最短距離．由直線2x-y+3=0的斜率，令曲線方程的導(dǎo)函數(shù)等于已知直線的斜率即可求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，把求出的橫坐標(biāo)代入曲線方程即可求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出切點(diǎn)到已知直線的距離即可．

解答：解：因?yàn)橹本�2x-y+3=0的斜率為2，
所以令y′=

1

x

=2，解得：x=

1

2

，
把x=

1

2

代入曲線方程得：y=-ln2，即曲線上過（

1

2

，-ln2）的切線斜率為2，
則（

1

2

，-ln2）到直線2x-y+3=0的距離d=

|1+ln2+3|

22+(-1)2

=

4+ln2

5

，
即曲線y=lnx上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0的最短距離是

4+ln2

5

．
故答案為：

4+ln2

5

點(diǎn)評：在曲線上找出斜率和已知直線斜率相等的點(diǎn)的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．同時(shí)要求學(xué)生掌握求導(dǎo)法則及點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用．