Question

甲和乙參加有獎競猜闖關(guān)活動，活動規(guī)則：①闖關(guān)過程中，若闖關(guān)成功則繼續(xù)答題；若沒通關(guān)則被淘汰；②每人最多闖3關(guān)；③闖第一關(guān)得10萬獎金，闖第二關(guān)得20萬獎金，闖第三關(guān)得30萬獎金，一關(guān)都沒過則沒有獎金．已知甲每次闖關(guān)成功的概率為

1

4

，乙每次闖關(guān)成功的概率為

1

3

．
（1）設(shè)乙的獎金為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）求甲恰好比乙多30萬元獎金的概率．

Answer 1

分析：（1）先分析隨機(jī)變量ξ的所有可能取值，再利用ξ取值的實(shí)際意義，運(yùn)用獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率運(yùn)算性質(zhì)分別計(jì)算概率，最后畫出分布列，利用期望計(jì)算公式計(jì)算期望即可；
（2）甲恰好比乙多30萬元獎金包含兩個互斥事件，即甲恰好得30萬元同時乙恰好得0萬元和甲恰好得60萬元且乙恰好得30萬元，分別計(jì)算兩個互斥事件的概率再相加即可

解答：解：（1）ξ的取值為0，10，30，60．
P(ξ=0)=1-

1

3

=

2

3

P(ξ=10)=(1-

1

3

)×

1

3

=

2

9

P(ξ=30)=(1-

1

3

)×

1

3

×

1

3

=

2

27

  
 P(ξ=60)=(

1

3

)3=

1

27

∴ξ 的概率分布如下表：

ξ	0	10	30	60
P	2 3	2 9	2 27	1 27

E(ξ)=0×

2

3

+10×

2

9

+30×

2

27

+60×

1

27

=

20

3

（2）設(shè)甲恰好比乙多30萬元為事件A，甲恰好得30萬元且乙恰好得0萬元為事件B₁，
甲恰好得60萬元且乙恰好得30萬元為事件B₂，則A=B₁∪B₂，B₁，B₂為互斥事件．P(A)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=(

1

4

)2×

3

4

×

2

3

+(

1

4

)3×

2

27

=

7

216

．
所以，甲恰好比乙多30萬元的概率為

7

216

點(diǎn)評：本題考查了離散型隨機(jī)變量分布列及其期望的計(jì)算，獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，互斥事件至少一個發(fā)生的概率