Question

過直線l：y=2x上一點(diǎn)P作圓C：（x-6）²+（y-2）²=5的切線l₁，l₂，A，B為切點(diǎn)，若l₁，l₂關(guān)于直線l對(duì)稱，則∠APB=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：連接PC、AC，根據(jù)圓的性質(zhì)和軸對(duì)稱知識(shí)，得當(dāng)切線l₁，l₂關(guān)于直線l對(duì)稱時(shí)，直線l⊥PC，且PC平分∠APB．因此計(jì)算出圓的半徑和點(diǎn)M到直線l的距離，在Rt△PAC中利用三角函數(shù)定義算出∠APC的度數(shù)，從而得到∠APB的度數(shù)．

解答： 解：連接PC、AC，可得當(dāng)直線l₁，l₂關(guān)于直線l對(duì)稱時(shí)，直線l⊥PC，且射線PC恰好是∠APB的平分線
∵圓C的方程為：（x-6）²+（y-2）²=5，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（6，2），半徑r=

5

點(diǎn)C到直線l：2x-y=0的距離為PC=

|2×6-2|

5

=2

5

由PA切圓C于A，得Rt△PAC中，sin∠APC=

AC

PC

=

1

2

，得∠APC=30°
∴∠APB=2∠APC=60°
故答案為：60°

點(diǎn)評(píng)：本題在直角坐標(biāo)系中給出圓的兩條切線關(guān)于已知直線對(duì)稱，求它們之間所成的角，著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系和軸對(duì)稱等知識(shí)，屬于中檔題．