Question

（2013•溫州二模）如圖，在正六邊形ABCDE中，點P是△CDE內(nèi)（包括邊界）的一個動點，設(shè)

AP

=λ

AB

+μ

AF

（λ，μ∈R）則λ+μ的取值范圍（　�。�

A．[1，2]

B．[2，3]

C．[2，4]

D．[3，4]

Answer 1

分析：通過建立坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)及直線方程，設(shè)動點P的坐標(biāo)寫出動點P的可行域；寫出向量的坐標(biāo)，據(jù)已知條件中的向量等式得到λ，μ與x，y的關(guān)系代入點P的可行域得λ，μ的可行域，利用線性規(guī)劃求出λ+μ的取值范圍

解答：解：建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，則A（0，0），B（2，0），
C（3，

3

），D（2，2

3

），E（0，2

3

），F(xiàn)（-1，

3

）
則EC的方程：x+

3

y-6=0；CD的方程：

3

x+y-4

3

=0；
因P是△CDE內(nèi)（包括邊界）的動點，則可行域為

x+ 3 y-6≥0 3 ≤y≤2 3 x+y-4 3 ≤0

又

AP

=λ

AB

+μ

AF

，
則

AP

=（x，y），

AB

=（2，0），

AF

=（-1，

3

），
所以（x，y）=λ（2，0）+μ（-1，

3

）
得

x=2λ-μ y= 3 μ

⇒

2λ-μ+ 3 • 3 -6≥0 3 ≤μ≤2 3

⇒

λ+μ≥3 1≤μ≤2 λ≤2

⇒3≤λ+μ≤4．
則λ+μ的取值范圍為[3，4]．
故選D．

點評：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是通過建立直角坐標(biāo)系將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，通過線性規(guī)劃求出范圍．