Question

某項(xiàng)競(jìng)賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個(gè)階段進(jìn)行，每個(gè)階段選手要回答一個(gè)問(wèn)題．規(guī)定正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一階段競(jìng)賽，否則即遭淘汰．已知某選手通過(guò)初賽、復(fù)賽、決賽的概率分別是

3

4

，

1

2

，

1

4

，且各階段通過(guò)與否相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率；
（Ⅱ）設(shè)該選手在競(jìng)賽中回答問(wèn)題的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望和方差．

Answer 1

（Ⅰ）該選手在復(fù)賽階段被淘汰包括通過(guò)初賽，不能通過(guò)復(fù)賽，這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的，
記“該選手通過(guò)初賽”為事件A，“該選手通過(guò)復(fù)賽”為事件B，
“該選手通過(guò)決賽”為事件C，
則P(A)=

3

4

，P(B)=

1

2

，P(C)=

1

4

．
根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率得到
該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率是P=P(A

.

B

)=P(A)P(

.

B

)=

3

4

×(1-

1

2

)=

3

8

（Ⅱ）該選手在競(jìng)賽中回答問(wèn)題的個(gè)數(shù)為ξ，則ξ可能的取值為1，2，3
P(ξ=1)=P(

.

A

)=1-

3

4

=

1

4

，
P(ξ=2)=P(A

.

B

)=P(A)P(

.

B

)=

3

4

×(1-

1

2

)=

3

8

，
P(ξ=3)=P(AB)=P(A)P(B)=

3

4

×

1

2

=

3

8

∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=1×

1

4

+2×

3

8

+3×

3

8

=

17

8

ξ的方差Dξ=(1-

17

8

)2×

1

4

+(2-

17

8

)2×

3

8

+(3-

17

8

)2×

3

8

=

39

64

…