(2006
遼寧，22)已知
，
，其中
．設(shè)
，
．
(1)
寫出
；
(2)
證明：對任意的
，
，恒有
． |
解析： (1)由已知推得 ，從而有 ．
(2) 證法一：當－1≤x≤1時，
當 x＞0時， ，所以F(x)在[0，1]上是增函數(shù)．
又 F(x)是偶函數(shù)，所以F(x)在[－1，0]上是減函數(shù)．所以對任意的  ， ，恒有 ．
∵ 
∴ 
因此結(jié)論成立． 證法二：當－ 1≤x≤1時，
當 x＞0時， ，所以F(x)在[0，1]上是增函數(shù)．
又 F(x)是偶函數(shù)，所以F(x)在[－1，0]上是減函數(shù)．所以對任意的  ， ，恒有 ．
又∵  ，
∴  ，
∴ 
因此結(jié)論成立． 證法三：當－ 1≤x≤1時，
當 x＞0時，，所以F(x)在[0，1]上是增函數(shù)．
又 F(x)是偶函數(shù)，所以F(x)在[－1，0]上是減函數(shù)．所以對任意的 ，，恒有 ．
由  ，得
∴  ．
因此結(jié)論成立． 證法四：當－ 1≤x≤1時，
當 x＞0時， ，所以F(x)在[0，1]上是增函數(shù)．
又 F(x)是偶函數(shù)，所以F(x)在[－1，0]上是減函數(shù)．所以對任意的  ，，恒有 ．
∵ 
對上式兩邊求導，得  ，
∴  ，
∴  ．
∴  ．
因此結(jié)論成立． |
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