Question

（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且經過點，直線交橢圓于不同的兩點.

（1）求橢圓的方程;

（2）求的取值范圍；

（3）若直線不過點，求證：直線與軸圍成一個等腰三角形.

 

Answer 1

【答案】

(1) （2）（3）見解析

【解析】

試題分析：(1)由已知橢圓焦點在軸上可設橢圓的方程為，（）

因為，所以，                                   ①

又因為過點，所以，                         ②

聯立①②解得，故橢圓方程為.                         ……4分

 (2)將代入并整理得，

因為直線與橢圓有兩個交點，

所以，解得.                         ……8分

（3）設直線的斜率分別為和，只要證明即可.

設，，

則.

所以

所以，所以直線與軸圍成一個等腰三角形.                  ……12分

考點：本小題主要考查橢圓標準方程的求法，橢圓中基本量的計算和直線與橢圓的位置關系，考查學生綜合運用知識解決問題的能力、推理論證能力和運算能力.

點評：縱觀歷年高考，橢圓是一個高頻考點，題型有選擇題和填空題，難度不大，但解答題是壓軸題，難度較大，所以在學習中，同學們一方面要掌握好橢圓的標準方程和幾何性質等基礎知識，另外還要多歸納這些知識的使用方法和應用技巧，做到心中有數，從容應對.