Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為梯形，平面平面

為側(cè)棱的中點(diǎn)，且.

（1）證明： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）取的中點(diǎn)，連接.

為側(cè)棱的中點(diǎn)， .，再證四邊形為平行四邊形，則.故平面平面.平面平面.

（2）解：過(guò)點(diǎn)作于平面平面平面.

.

取的中點(diǎn)，如圖所示，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)和相應(yīng)向量的坐標(biāo)，求出平面的法向量及平面的一個(gè)法向量，再根據(jù)二面角為鈍角，可得二面角的余弦值為.

試題解析：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接.

為側(cè)棱的中點(diǎn)， .

四邊形為平行四邊形，則.

平面平面.

平面平面.

（2）解：過(guò)點(diǎn)作于平面平面平面.

.

取的中點(diǎn)，如圖所示，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則.

.

設(shè)為平面的法向量.

則

取，則.

易證平面，則為平面的一個(gè)法向量.

，

由圖可知，二面角為鈍角.

二面角的余弦值為.