Question

如圖3，點A是曲線y=3-x²（y＞0）上的一個動點（點A在y軸左側(cè)）以點A為頂點作矩形ABCD，使點B在此曲線上，D，C在x軸上，設(shè)|OC|=x，矩形ABCD的面積為S（x）．
（1）寫出函數(shù)S（x）的解析式，并求出函數(shù)的定義域
（2）求當(dāng)x為何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

分析：（1）由A是曲線y=3-x²（y＞0）上的一個動點（點A在y軸左側(cè)），可分別求出矩形的長和寬，代入矩形面積公式可得答案，結(jié)合B，C點均在Y軸右側(cè)，求出曲線y=3-x²與X軸的交點坐標(biāo)，可分析出函數(shù)的定義域
（2）由（1）中解析式，求出函數(shù)S（x）導(dǎo)函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法，分析函數(shù)S（x）的單調(diào)性后，即可求出最大值．

解答：解：（1）∵A是曲線y=3-x²（y＞0）上的一個動點
若|OC|=x，即A的橫坐標(biāo)為-x時，A的縱坐標(biāo)為3-x²，
故矩形ABCD的長和寬分別為2x，3-x²，
∴S（x）=2x（3-x²）
又∵曲線y=3-x²與x正半軸交于（

3

，0）點
故x∈(0，

3

)
即函數(shù)的定義域為(0，

3

)
（2）S（x）=2x（3-x²）=-2x³+6x
∴S′（x）=-6x²+6，x∈(0，

3

)
令S′（x）=0，則x=1
∵x∈（0，1）時，S′（x）＞0，
x∈(1，

3

)時，S′（x）＜0，
故當(dāng)x=1時面積最大，最大面積為4

點評：本題考查的知識點是根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，其中分析矩形的長和寬是解答本題的關(guān)鍵．