Question

(本小題滿分14分)
已知為實數(shù)，數(shù)列滿足,當時，
(1)當時，求數(shù)列的前100項的和；
(2)證明：對于數(shù)列，一定存在，使；
(3)令,當時，求證：

Answer 1

(1)
.
(2)證明：見解析；
(3)   

(1)解本小題的關鍵是確定當a=100時，由題意知數(shù)列的前34項成首項為100，公差為-3的等差數(shù)列，從第35項開始，奇數(shù)項均為3，偶數(shù)項均為1.
(2)本小題易采用數(shù)學歸納法進行證明.再由n=k+1時成立時，一定要用上n=k時的歸納假設，否則證明無效.
(3)先由,再求出.
從而
然后再討論n是奇數(shù)和n是偶數(shù)兩種情況進行證明.
解：(1)當a=100時，由題意知數(shù)列的前34項成首項為100，公差為-3的等差數(shù)列，從第35項開始，奇數(shù)項均為3，偶數(shù)項均為1，從而
………………(3分)
.………………(5分)
(2)證明：①若0<a₁≤3,則題意成立…………………(6分)
②若a₁>3此時數(shù)列的前若干項滿足a_n-a_n-1=3,即a_n=a₁-3(n-1).
設,則當n=k+1時，
從而此時命題成立……(8分)
③若a₁≤0，由題意得a₂=4-a₁>3，則有②的結論知此時命題也成立．
綜上所述，原命題成立……………(9分)
(3)當2<a<3時，因為
所以 ……………(10分)
因為b_n>0，所以只要證明當n≥3時不等式成立即可．而

………………………………(12分)
①當n=2k(k∈N^*且k≥2)時，

…（13分）
②當n=2k-l(k∈N^*且k≥2)時，出于b_n>0，所以
綜上所述，原不等式成立………(14分)