Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，且曲線過點(diǎn)(1，

2

2

)
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線x-y+m=0與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)不在圓x2+y2=

5

9

內(nèi)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)離心率為

2

2

，a²=b²+c²得到關(guān)于a和b的一個方程，曲線過點(diǎn)(1，

2

2

)，把點(diǎn)代入方程即可求得橢圓C的方程；
（2）直線x-y+m=0與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)，聯(lián)立直線和橢圓的方程，消元，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)該點(diǎn)不在圓內(nèi)，得到該點(diǎn)到圓心的距離≥半徑，求得m的取值范圍．

解答：解：（1）∵

c

a

=

2

2

，∴

b2

a2

=

a2-c2

a2

=1-

1

2

=

1

2

，∴a²=2b²①
曲線過(1，

2

2

)，則

1

a2

+

1

2b2

=1②
由①②解得

a= 2 b=1

，則橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（2）聯(lián)立方程

x2 2 +y2=1 x-y+m=0

，消去y整理得：3x²+4mx+2m²-2=0
則△=16m²-12（2m²-2）=8（-m²+3）＞0，解得-

3

＜m＜

3

③
x1+x2=

-4m

3

，y1+y2=x1+x2+2m=

-4m

3

+2m=

2m

3

，
即AB的中點(diǎn)為(-

2m

3

，

m

3

)
又∵AB的中點(diǎn)不在x2+y2=

5

9

內(nèi)，
∴

4m2

9

+

m2

9

=

5m2

9

≥

5

9

解得，m≤-1或m≥1④
由③④得：-

3

＜m≤-1或1≤m＜

3

．

點(diǎn)評：本小題主要考查直線與圓錐曲線等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力，直線與圓錐曲線相交問題，易忽視△＞0，屬中檔題．