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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          已知向量
          a
          =(cos4x-sin4x,2sinx)
          b
          =(-1,
          3
          cosx)
          ,設函數f(x)=
          a
          b
           , x∈R

          (Ⅰ)求f(x)的最小正周期及單調遞減區(qū)間;
          (Ⅱ)求f(x)在[0,
          π
          2
          ]
          上的最小值及取得最小值時的x值.
          分析:通過向量計算,求出f(x)=
          a
          b
          , x∈R
          ,化為一個角的一個三角函數的形式,
          (Ⅰ)直接求f(x)的最小正周期,根據正弦函數的單調遞減區(qū)間,求出f(x)的單調減區(qū)間.
          (Ⅱ)在[0,
          π
          2
          ]
          上確定2x-
          π
          6
          ∈[-
          π
          6
          6
          ]
          ,然后求f(x)的最小值及取得最小值時的x值.
          解答:解:(Ⅰ)由f(x)=
          a
          b
          =sin4x-cos4x+2
          3
          sinx•cosx

          f(x)=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+
          3
          sin2x

          =
          3
          sin2x-cos2x=2sin(2x-
          π
          6
          )

          T=
          |ω|

          2kπ+
          π
          2
          ≤2x-
          π
          6
          ≤2kπ+
          3
          2
          π,(k∈Z)

          kπ+
          π
          3
          ≤x≤kπ+
          5
          6
          π,(k∈Z)

          ∴函數f(x)的單調減區(qū)間為[kπ+
          π
          3
          ,kπ+
          5
          6
          π](k∈Z)

          (Ⅱ)∵x∈[0,
          π
          2
          ]

          2x-
          π
          6
          ∈[-
          π
          6
          6
          ]

          從而f(x)=2sin(2x-
          π
          6
          )∈[-1,2]

          ∴f(x)在[0,
          π
          2
          ]
          上的最小值為-1,此時x=0.
          點評:本題考查三角函數的周期性及其求法,平面向量數量積的運算,正弦函數的單調性,三角函數的最值,考查計算能力,是中檔題.
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知向量
          a
          =(-cosα,1+sinα)
          ,
          b
          =(2sin2
          α
          2
          ,sinα)

          (Ⅰ)若|
          a
          +
          b
          |=
          3
          ,求sin2α的值;
          (Ⅱ)設
          c
          =(cosα,2)
          ,求(
          a
          +
          c
          )•
          b
          的取值范圍.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知向量
          a
          =(cosωx-sinωx,sinωx)
          ,
          b
          =(-cosωx-sinωx,2
          3
          cosωx)
          ,其中ω>0,且函數f(x)=
          a
          b
          (λ為常數)的最小正周期為π.
          (Ⅰ)求函數y=f(x)的圖象的對稱軸;
          (Ⅱ)若函數y=f(x)的圖象經過點(
          π
          4
          ,0)
          ,求函數y=f(x)在區(qū)間[0,
          12
          ]
          上的取值范圍.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知向量
          a
          =(cos
          θ
          2
          ,sin
          θ
          2
          )
          b
          =(2,1)
          ,且
          a
          b

          (1)求tanθ的值;
          (2 )求
          cos2θ
          2
          cos(
          π
          4
          +θ)•sinθ
          的值.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知向量
          a
          =(cos(ωx-
          π
          6
          ),  sin(ωx-
          π
          4
          )),  
          b
          =(sin(
          2
          3
          π-ωx), sin(ωx+
          π
          4
          ))
          (其中ω>0).若函數f(x)=2
          a
          b
          -1
          的圖象相鄰對稱軸間距離為
          π
          2

          (Ⅰ)求ω的值;
          (Ⅱ)求f(x)在[-
          π
          12
          ,  
          π
          2
          ]
          上的值域.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知向量
          a
          =(cosθ,sinθ),
          b=
          (cos2θ-1,sin2θ),
          c
          =(cos2θ,sin2θ-
          3
          )
          .其中θ≠kπ,k∈Z.
          (1)求證:
          a
          b
          ;
          (2)設f(θ)=
          a
          c
          ,且θ∈(0,π),求f(θ)
          的值域.

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