Question

已知函數(shù)f(x)=ax2-2

4+2b-b2

x，g(x)=-

-x2+2ax+1-a2

，a，b∈R．
（1）當(dāng)b=0時(shí)，若f（x）在[2，+∞）上是減函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）求滿足下列條件的所有實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）：當(dāng)a是整數(shù)時(shí)，存在x₀使f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）把b=0代入可得f（x）=ax²-4x，①當(dāng)a=0時(shí)，滿足題意②當(dāng)a≠0時(shí)，需滿足

a＜0 2 a ≤2

，解之可得a的范圍，綜合可得答案；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，不合題意，須a＜0，且x=x0=

4+2b-b2

a

時(shí)f（x）取得最大值，而函數(shù)g(x)=-

-(x-a)2+1

，當(dāng)x=a時(shí)，取得最小值，可得a2=

4+2b-b2

=

5-(b-1)2

，可得a的范圍，結(jié)合a是負(fù)整數(shù)，可得a值，代入前面式子可解得b值．

解答：解：（1）當(dāng)b=0時(shí)，f（x）=ax²-4x，
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-4x，為[2，+∞）上的減函數(shù)，滿足題意；…（2分）
②當(dāng)a≠0時(shí)，需滿足

a＜0 2 a ≤2

，解得a＜0，
綜上可得a≤0滿足要求                                    …（6分）
（2）當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=-2

4+2b-b2

x不存在最大值     …（7分）
∵f（x）存在最大值f（x₀），
∴a＜0且當(dāng)x=x0=

4+2b-b2

a

時(shí)f（x）取得最大值         …（9分）
對(duì)于g(x)=-

-(x-a)2+1

，當(dāng)x=a時(shí)，g（x）取得最小值，…（11分）
∴

4+2b-b2

a

=a，∴a2=

4+2b-b2

=

5-(b-1)2

…（13分）
∴0＜a2≤

5

，∵a是負(fù)整數(shù)，∴a=-1從而b=-1或3，
∴滿足題意的實(shí)數(shù)對(duì)為（-1，-1）和（-1，3）…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)值域的求解，涉及分類討論的思想，屬中檔題．