Question

設(shè)a＞0，b＞0，連結(jié)雙曲線

x2

4a2

-

y2

b2

=1與

y2

b2

-

x2

4a2

=1的四個頂點所成的四邊形的面積為S₁，連結(jié)兩雙曲線的四個焦點所成的四邊形面積為S₂，則

S2

S1

的最小值是（　�。�

• A．4
• B．2
• C．1
• D．

  1

  2

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與基本概念，分別算出S₁、S₂關(guān)于的式子，從而得出

S2

S1

=

2(4a2+b2)

4ab

，再利用基本不等式求最值，即可得到當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時

2(4a2+b2)

4ab

的最小值為2，可得答案．

解答：解：∵雙曲線

x2

4a2

-

y2

b2

=1的頂點坐標(biāo)為（±2a，0）；雙曲線

y2

b2

-

x2

4a2

=1的頂點坐標(biāo)為（0，±b）
∴由兩條雙曲線的四個頂點構(gòu)成的四邊形面積S₁=

1

2

×4a×2b=4ab
又∵雙曲線

x2

4a2

-

y2

b2

=1與

y2

b2

-

x2

4a2

=1的焦點坐標(biāo)分別（±

4a2+b2

，0）和（0，±

4a2+b2

）
∴由兩條雙曲線的四個焦點構(gòu)成的四邊形面積面積S₂=

1

2

×2

4a2+b2

×2

4a2+b2

=2（4a²+b²）
由此可得

S2

S1

=

2(4a2+b2)

4ab

=

2a

b

+

b

2a

≥2

2a b • b 2a

=2，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時等號成立
∴

S2

S1

的最小值是2
故選：B

點評：本題給出兩個雙曲線互為共軛雙曲線，求以它們的四個頂點構(gòu)成的四邊形面積與以它們四個焦點構(gòu)成的四邊形面積之比的問題，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．