Question

設(shè)P(x₀,y₀)是橢圓(a＞b＞0)上任意一點(diǎn)，F₁為其左焦點(diǎn).

(1)求|PF₁|的最小值和最大值;

(2)在橢圓上求一點(diǎn)P,使這點(diǎn)與橢圓兩焦點(diǎn)的連線互相垂直.

Answer 1

解：(1)對應(yīng)于F₁的準(zhǔn)線方程為x=-,根據(jù)橢圓的第二定義:

∴|PF₁|=a+ex₀.

又-a≤x₀≤a,

∴當(dāng)x₀=-a時(shí),|PF₁|_min=a+(-a)=a-c;

當(dāng)x₀=a時(shí),|PF₁|_max=a+·a=a+c.

(2)∵a²=25,b²=5,

∴c²=20,e²=.

∵|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²,

∴(a+ex₀)²+(a-ex₀)²=4c².

將數(shù)據(jù)代入得25+x₀²=40.

∴x₀=±.代入橢圓方程得P點(diǎn)的坐標(biāo)為

綠色通道：

|PF₁|、|PF₂|都是橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,稱作焦半徑,而|PF₁|=a+ex₀,|PF₂|=a-ex₀稱作焦半徑公式.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),仿照上面的推導(dǎo),焦半徑公式成為|PF₁|=a+ey₁,|PF₂|=a-ey₁.

橢圓上距焦點(diǎn)最近或最遠(yuǎn)的點(diǎn)是長軸的端點(diǎn).