Question

（21）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且。

（Ⅰ）求的通項(xiàng)；

（Ⅱ）求的前n項(xiàng)和。

Answer 1

（21）本小題主要考查等比數(shù)列的基本知識(shí)，考查分析問題能力和推理能力.

解：（I）由2¹⁰S₃₀-(2¹⁰+1)S₂₀+S₁₀=0得

          2¹⁰(S₃₀-S₂₀)=S₂₀-S₁₀，

即        2¹⁰(a₂₁+a₂₂+…+a₃₀)=a₁₁+a₁₂+…+a₂₀,

可得      2¹⁰·q¹⁰(a₁₁+a₁₂+…+a₂₀)=a₁₁+a₁₂+…+a₂₀.

因?yàn)閍_n>0，所以

          2¹⁰q¹⁰=1,

解得q=,因而

                a_n=a₁q^n-1=,n=1,2,….

(II)因?yàn)閧a_n}是首項(xiàng)a₁=、公比q=的等比數(shù)列，故

     S_n==1-，nS_n=n-.

則數(shù)列{nS_n}的前n項(xiàng)和

         T_n=(1+2+…+n)-(++…+)，

      (1+2+…+n)-(++…+).

前兩式相減，得

      (1+2+…+n)-(++…+)+

       =-+,

即       T_n=