Question

已知函數(shù)f（x）=（xlnx+ax+a²-a-1）e^x，a≥-2．
（I）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間(

1

e

，+∞)上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（III）是否存在a，使得函數(shù)f（x）的圖象在區(qū)間(

1

e

，+∞)上與x軸相切？若存在，求出所有a的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）若a=0，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）利用導(dǎo)數(shù)分別討論a的取值，進(jìn)而討論函數(shù)f（x）在區(qū)間(

1

e

，+∞)上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（III）假設(shè)存在a，使得f（x）在區(qū)間（

1

e

，+∞）上與x軸相切，則f（x）必與x軸相切于極值點(diǎn)處，利用導(dǎo)數(shù)與極值之間的關(guān)系進(jìn)行討論．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)：f（x）=（xlnx+-1）e^x，（x＞0）
故f'（x）=（lnx+1+xlnx-1）e^x=lnx（x+1）e^x，
當(dāng)x=1時(shí)：f'（x）=0，當(dāng)x＞1時(shí)：f'（x）＞0，當(dāng)x＜1時(shí)：f'（x）＜0．
故f（x）的減區(qū)間為：（0，1），增區(qū)間為（1，+∞）．
（2）f'（x）=（lnx+xlnx+ax+a²）e^x，
令g（x）=lnx+xlnx+ax+a²，
故g'（x）=

1

x

+lnx+1+a，g“（x）=-

1

x2

+

1

x

，
顯g''（1）=0，又當(dāng)x＜1時(shí)：g''（x）＜0．當(dāng)x＞1時(shí)：g''（x）＞0．
故g'（x）_min=g'（1）=2+a，
∵a≥-2，∴g'（x）≥g'（x）_min=2+a≥0．
故g（x）在區(qū)間（

1

e

，+∞）上單調(diào)遞增，
注意到：當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→+∞，
故g（x）在（

1

e

，+∞）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)由g（

1

e

）=（a-1）（a+1+

1

e

）的符號(hào)決定．
①當(dāng)g（

1

e

）≥0，即：-2≤a≤-1-

1

e

或a≥1時(shí)：g（x）在區(qū)間（

1

e

，+∞）上無(wú)零點(diǎn)，
即f（x）無(wú)極值點(diǎn)．
②當(dāng)g（

1

e

）＜0，即：-1-

1

e

＜a＜1時(shí)：g（x）在區(qū)間（

1

e

，+∞）上有唯一零點(diǎn)，
即f（x）有唯一極值點(diǎn)．
綜上：當(dāng)2≤a≤-1-

1

e

或a≥1時(shí)：f（x）在（

1

e

，+∞）上無(wú)極值點(diǎn)．
當(dāng)：-1-

1

e

＜a＜1時(shí)：f（x）在（

1

e

，+∞）上有唯一極值點(diǎn)．
（3）假設(shè)存在a，使得f（x）在區(qū)間（

1

e

，+∞）上與x軸相切，則f（x）必與x軸相切于極值點(diǎn)處，
由（2）可知：-1-

1

e

＜a＜1時(shí)．不妨設(shè)極值點(diǎn)為x₀，則有：

f′(x0)=(lnx0+x0lnx0+ax0+a2)ex0=0 f(x0)=(x0lnx0+ax0+a2-a-1)ex0=0

…（*）同時(shí)成立．
聯(lián)立得：lnx₀+a+1=0，即x 0=e-(a+1)代入（*）可得e^-（a+1）+（a+1）-a²=0．
令t=-（a+1），則t∈(-2，

1

e

)，h（t）=e^t-t-（t+1）²，
則h'（t）=e^t-2t-3，h''（t）=e^t-2，當(dāng) t∈(-2，

1

e

)時(shí)，h″(t)＜h″(

1

e

)=e

1

e

-2＜0
（∵e

1

e

＜e

1

2

＜2）．故h'（t）在t∈(-2，

1

e

)上單調(diào)遞減．
又h'（-2）=e^-2+1＞0，h'（

1

e

）=e

1

e

-

2

e

-3＜0．故h'（t）在t∈(-2，

1

e

)上存在唯一零點(diǎn)t₀．
即當(dāng)t∈（-2，t₀）時(shí)，h'（t）＞0，h（t）單調(diào)遞增．當(dāng)t∈(t0，

1

e

)時(shí)，h'（t）＜0，h（t）單調(diào)遞減．
因?yàn)閔（-2）=e^-2+1＞0，h'（

1

e

）=e

1

e

-

1

e2

-

3

e

-1＜0．
故h（t）在t∈（-2，t₀）上無(wú)零點(diǎn)，在t∈(t0，

1

e

)上有唯一零點(diǎn)．
由觀察易得h（0）=0，故a+1=0，即：a=-1．
綜上可得：存在唯一的a=-1使得f（x）在區(qū)間（

1

e

，+∞）上與x軸相切．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道難度非常大的難題．