Question

【題目】在正方體中，棱長(zhǎng)為2，分別為棱的中點(diǎn)，為底面正方形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界）且與面所成角的正切值為，直線與面的交點(diǎn)為，當(dāng)到的距離最小時(shí)，則四面體外接球的表面積為___________.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據(jù)線面角的正切值確定M的軌跡，建立空間直角坐標(biāo)系求出N的坐標(biāo)，求出半徑即可得解.

與面所成角的正切值為，

根據(jù)正方體性質(zhì)可得：與面所成角就是

所以，所以M的軌跡為平面內(nèi)以B為圓心，為半徑的圓周上位于底面正方形內(nèi)（含邊界），圓周與線段BD交點(diǎn)為，

直線與面的交點(diǎn)為，當(dāng)到的距離最小時(shí)，即點(diǎn)為與的交點(diǎn)，

以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1分別為x，y，z軸正方向建立空間之間坐標(biāo)系如圖所示：

設(shè)，

點(diǎn)為與的交點(diǎn)，所以，

，

解得，

所以，設(shè)四面體外接球球心O，，

所以O在過(guò)BD中點(diǎn)且垂直于平面ABCD的直線上，

設(shè)，

解得：，所以，

球的表面積為：.

故答案為：