Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-（a-1）x²+b²x，其中a，b為實(shí)常數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）為奇函數(shù)的充要條件；
（Ⅱ）若任取a∈[0，4]，b∈[0，3]，求函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)得到f（-x）=-f（x），代入函數(shù)解析式，得到恒成立的方程，整理對(duì)應(yīng)相等，即可求得常數(shù)a的值；（Ⅱ）函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)轉(zhuǎn)化為f'（x）≥0恒成立，∴△≤0解得a，b的一個(gè)關(guān)系式，根據(jù)a∈[0，4]，b∈[0，3]，畫(huà)出圖象，即可求得函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)的概率．

解答：解：（Ⅰ）若f（x）任意x∈R，
有f（x）+f（-x）=0
即

1

3

x3-(a-1)x2+b2x-

1

3

x3-(a-1)x2-b2x=0
∴2（a-1）x²=0∴a=1
當(dāng)a=1 時(shí)，f(x)=

1

3

x3+b2x
f(-x)=-

1

3

x3-b2x=-f(x)，所以f（x）為奇函數(shù)．
故f（x）為奇函數(shù)的充要條件是a=1．

（Ⅱ）因?yàn)閒'（x）=x²-2（a-1）x+b²．
若f（x）在R上是增函數(shù)，則對(duì)任意x∈R，f'（x）≥0恒成立．
所以△=4（a-1）²-4b²≤0，即|a-1|＜|b|．
設(shè)“f（x）在R上是增函數(shù)”為事件A，則事件A對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)閧（a，b）||a-1|＜|b|}．
又全部試驗(yàn)結(jié)果Ω=（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3，如圖．
所以P(A)=

S圖象

SΩ

 =

3×4- 1 2 ×1×1- 1 2 ×3×3

3×4

=

7

12

．
故函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)的概率為

7

12

．

點(diǎn)評(píng)：（Ⅰ）考查函數(shù)的奇偶性的定義，以及方程的思想方法求參數(shù)的值，特別注意函數(shù)的定義域；（Ⅱ）考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求解，是導(dǎo)數(shù)與幾何概型相結(jié)合的題目，新穎，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．