Question

已知函數(shù)f（x）=

ax

x-1

，若2f（2）=f（3）+5．
（1）求a的值．
（2）利用單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，∞） 的單調(diào)性．（提示：用定義法證明）

Answer 1

分析：（1）代入利用2f（2）=f（3）+5，即可得出；
（2）判斷：函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．利用定義證明：變形f（x）=

2x

x-1

=

2(x-1)+2

x-1

=2+

2

x-1

．?x₂＞x₁＞1，只有證明f（x₂）-f（x₁）＜0即可．

解答：解：（1）∵2f（2）=f（3）+5，
∴

2a

2-1

×2=

3a

3-1

+5，解得a=2．
（2）判斷：函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
證明：由（1）可知：f（x）=

2x

x-1

=

2(x-1)+2

x-1

=2+

2

x-1

．
?x₂＞x₁＞1，則f（x₂）-f（x₁）=2+

2

x2-1

-(2+

2

x1-1

)=

2(x1-x2)

(x2-1)(x1-1)

，
∵x₂＞x₁＞1，∴x₁-x₂＜0，x₂-1＞0，x₁-1＞0．
∴f（x₂）-f（x₁）＜0．即f（x₂）＜f（x₁）．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞） 的單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義、求值，屬于基礎(chǔ)題．