Question

同時具有下列性質(zhì)：“①對任意x∈R，f（x+π）=f（x）恒成立；②圖象關(guān)于直線x=

π

3

對稱”的函數(shù)可以是（　　）

• A、f（x）=sin（

  x

  2

  +

  π

  6

  ）
• B、f（x）=sin（2x-

  π

  6

  ）
• C、f（x）=cos（2x-

  π

  6

  ）
• D、f（x）=cos（2x+

  π

  3

  ）

Answer 1

分析：由題意可得：滿足f（x+π）=f（x）恒成立，則此函數(shù)是周期函數(shù)，并且周期為π．
A、此函數(shù)的周期為：T=

2π

1 2

=4π．
B、此函數(shù)的周期為：T=

2π

2

=π，并且求出函數(shù)的對稱軸為：x=

kπ

2

+

π

3

．
C、此函數(shù)的周期為：T=

2π

2

=π，并且函數(shù)的對稱軸為：x=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z）．
D、此函數(shù)的周期為：T=

2π

2

=π，并且函數(shù)的對稱軸為：x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）．

解答：解：由題意可得：若函數(shù)滿足：對任意x∈R，f（x+π）=f（x）恒成立，則此函數(shù)是周期函數(shù)，并且周期為π．
A、此函數(shù)的周期為：T=

2π

1 2

=4π，所以A不正確．
B、此函數(shù)的周期為：T=

2π

2

=π，并且函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

6

）的對稱軸為：x=

kπ

2

+

π

3

（k∈Z），顯然直線x=

π

3

是函數(shù)的一個對稱軸．
C、此函數(shù)的周期為：T=

2π

2

=π，并且函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

6

）的對稱軸為：x=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z），顯然直線x=

π

3

不是函數(shù)的一個對稱軸．
D、此函數(shù)的周期為：T=

2π

2

=π，并且函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）的對稱軸為：x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），顯然直線x=

π

3

不是函數(shù)的一個對稱軸．
故選B．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)即三角函數(shù)的周期公式與對稱軸的公式，并且加以正確的運算．