Question

設(shè)a是正數(shù)，ax+y=2（x≥0，y≥0），記y+3x-

1

2

x²的最大值是M（a），試求：
（1）M（a）的表達(dá)式；（2）M（a）的最小值．

Answer 1

分析：（1）將代數(shù)式y(tǒng)+3x-

1

2

x²表示為一個(gè)字母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立關(guān)于x的二次函數(shù)，逐步進(jìn)行分類求M（a）．
（2）由（1）知）M（a）是分段函數(shù)，對(duì)每一段進(jìn)行求最小值，然后從中選最小的，作為M（a）的最小值．

解答：解：（1）設(shè)S（x）=y+3x-

1

2

x²，將y=2-ax代入消去y，得：
S（x）=2-ax+3x-

1

2

x²
=-

1

2

x²+（3-a）x+2
=-

1

2

[x-（3-a）]²+

1

2

（3-a）²+2（x≥0）
∵y≥0∴2-ax≥0
而a＞0∴0≤x≤

2

a

下面分三種情況求M（a）
（i）當(dāng)0＜3-a＜

2

a

（a＞0），即

0＜a＜3 a2- 3a+2＞0

時(shí)
解得0＜a＜1或2＜a＜3時(shí)
M（a）=S（3-a）=

1

2

（3-a）²+2
（ii）當(dāng)3-a≥

2

a

（a＞0）即

a＞0 a2- 3a+2≤0

時(shí)，
解得：1≤a≤2，這時(shí)
M（a）=S（

2

a

）=2-a•+3•

2

a

-

1

2

•(

2

a

)2=-

2

a2

+

6

a

（iii）當(dāng)3-a≤0；即a≥3時(shí)
M（a）=S（0）=2
綜上所述得：
M（a）=

1 2 (3-a)2+2   (0＜a＜1) - 2 a2 + 6 a         1≤a≤2 1 2 (3-a)2+2    (2＜a＜3) 2        (a≥3)

（2）下面分情況探討M（a）的最小值．
當(dāng)0＜a＜1或2＜a＜3時(shí)
M（a）=

1

2

（3-a）²+2＞2
當(dāng)1≤a≤2時(shí)
M（a）=-

2

a2

+

6

a

=-2（

1

a

-

3

2

）²+

9

2

∵1≤a≤2?

1

2

≤

1

a

≤1
∴當(dāng)

1

a

=

1

2

時(shí)，M（a）取小值，即
M（a）≥M（2）=

5

2

當(dāng)a≥3時(shí)，M（a）=2
經(jīng)過比較上述各類中M（a）的最小者，可得M（a）的最小值是2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)思想的和分類討論思想．解題經(jīng)驗(yàn)的積累，有利于解題思路的挖掘，對(duì)參數(shù)a的分類，完全依據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)3-a是否在定義域區(qū)間[0，

2

a

]內(nèi)，這樣就引出三種討論情況，找出解題的方案．