Question

已知圓2x²+2y²-8x-8y-1=0的圓心為M，B為該圓上任意一點，當直線BM 與直線l：x+y-9=0 相交于點A時，圓上總存在點C使∠BAC=45°．
（1）當點A的橫坐標為4時，求直線AC的方程；
（2）求點A的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據圓與直線的方程可知：M（2，2），A（4，5），kAM=

3

2

，設直線AC的斜率為k，則有

|k- 3 2 |

|1+ 3 2 k|

=1，解得k從而求得直線AC的方程；
（2）將圓的方程化為（x-2）²+（y-2）²=（

34

2

）^₂，設A（a，9-a）①當a≠2時，把∠BAC看作AB到AC的角，又點C在圓M上，由圓心到AC的距離小于等于圓的半徑，即

|5×2-2(2a-9)-2a2+22a-81|

25+(2a-9)2

≤

34

2

求解．②當a=2時，則A（2，7）與直線x=2成45°角的直線有y-7=x-2，M到它的距離d=

5 2

2

＞

34

2

，這樣點C不在圓M上不成立．

解答：解：（1）依題意M（2，2），A（4，5），kAM=

3

2

，
設直線AC的斜率為k，則

|k- 3 2 |

|1+ 3 2 k|

=1，
解得k=-5或k=

1

5

，
故所求直線AC的方程為5x+y-25=0或x-5y+21=0；

（2）圓的方程可化為（x-2）²+（y-2）²=（

34

2

）^₂，設A點的橫坐標為a．
則縱坐標為9-a；
①當a≠2時，kAB=

7-a

a-2

，設AC的斜率為k，把∠BAC看作AB到AC的角，
則可得k=

5

2a-9

，直線AC的方程為y-（9-a）=

5

2a-9

（x-a）
即5x-（2a-9）y-2a²+22a-81=0，
又點C在圓M上，
所以只需圓心到AC的距離小于等于圓的半徑，
即

|5×2-2(2a-9)-2a2+22a-81|

25+(2a-9)2

≤

34

2

，
化簡得a²-9a+18≤0，
解得3≤a≤6；
②當a=2時，則A（2，7）與直線x=2成45°角的直線為y-7=x-2
即x-y+5=0，M到它的距離d=

|2-2+5|

2

=

5 2

2

＞

34

2

，
這樣點C不在圓M上，
還有x+y-9=0，顯然也不滿足條件，
綜上：A點的橫坐標范圍為[3，6]．

點評：本題主要考查直線與圓的位置關系及方程的應用，還涉及了直線中的到角公式，點到直線的距離等，考查計算能力．