Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₅=6，a₃=2時(shí)，若自然數(shù)k₁，k₂，…，k_n…（n∈N^*）滿足5＜k₁＜k₂＜…＜k_n＜…，使得a₃，a₅，ak1ak2，…akn，…成等比數(shù)列，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{k_n}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)的和．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列{a_n}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)求出公差d=2，再求出a₁=-2，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出a_n的表達(dá)式；
（2）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，算出題中等比數(shù)列的公比q=3，從而得到第n項(xiàng)akn=2•3n+1，根據(jù)akn同時(shí)是{a_n}的第k_n項(xiàng)建立相等關(guān)系，即可得到kn=3n+1+2，最后結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可得到數(shù)列{k_n}的其前n項(xiàng)的和．

解答：解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}中，a₅=6，a₃=2
∴{a_n}的公差d=

a5-a3

5-3

=

6-2

5-3

=2，可得a₁=a₃-2d=-2
因此，{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a₁+（n-3）×2=2n-4
（2）∵2，6，ak1，ak2，…akn，…成等比數(shù)列，
∴該數(shù)列的公比q=

6

2

=3，可得akn=2•3n+1，
又∵akn 是等差數(shù)列{a_n}中的第k_n項(xiàng)，∴ak n=2kn-4，
因此，2•3ⁿ⁺¹=2k_n-4，解之得kn=3n+1+2，
∴k₁+k₂+…k_n=（3²+2）+（3³+2）+（3⁴+2）+…+（3ⁿ⁺¹+2）
=（3²+3³+…3ⁿ⁺¹）+2n=

9

2

(3n-1)+2n．
即數(shù)列{k_n}的通項(xiàng)公式為：kn=3n+1+2，其前n項(xiàng)的和為

9

2

(3n-1)+2n．

點(diǎn)評(píng)：本題給出等差數(shù)列的第3項(xiàng)、第5項(xiàng)是等比數(shù)列的前2項(xiàng)，求等比數(shù)列與等差數(shù)列的公共項(xiàng)按原來(lái)的順序構(gòu)成數(shù)列的通項(xiàng)公式．著重著重考查了等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式等知識(shí)，屬于中檔題．