Question

對(duì)于任意的復(fù)數(shù)z=x+yi（x，y∈R），定義運(yùn)算P（z）=x²[cos（yπ）+isin（yπ）]．
（1）集合A={ω|ω=P（z），|z|≤1，Rez，Imz均為整數(shù)}，試用列舉法寫出集合A；
（2）若z=2+yi（y∈R），P（z）為純虛數(shù)，求|z|的最小值；
（3）直線l：y=x-9上是否存在整點(diǎn)（x，y）（坐標(biāo)x，y均為整數(shù)的點(diǎn)），使復(fù)數(shù)z=x+yi經(jīng)運(yùn)算P后，P（z）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)也在直線l上？若存在，求出所有的點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的復(fù)數(shù)的條件，寫出復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部滿足的條件，根據(jù)要求是整數(shù)，列舉出所有的情況，得到要求的集合A，用列舉法表示出集合．
（2）表示出P（z），根據(jù)它是一個(gè)純虛數(shù)，得到實(shí)部和虛部與0的關(guān)系，得到關(guān)于三角函數(shù)的關(guān)系式，得到y(tǒng)，k之間的關(guān)系，表示出復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，根據(jù)二次函數(shù)求出最值．
（3）寫出P（z）對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x²cos（yπ），x²sin（yπ）），根據(jù)所給的條件得到關(guān)系式，根據(jù)三角函數(shù)的值討論出對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．

解答：解：（1）

z=x+yi |z|≤1

⇒x2+y2≤1
由于x，y∈Z，得

x=±1 y=0

，

x=0 y=±1

，

x=0 y=0

∴P（±1）=1，P（±i）=0，P（0）=0，
∴A={0，1}
（2）若z=2+yi（y∈R），則P（z）=4[cos（yπ）+isin（yπ）]
若P（z）為純虛數(shù)，則

cosyπ=0 sinyπ≠0

∴y=k+

1

2

，k∈Z
∴|z|=

22+y2

=

(k+ 1 2 )2+4

，k∈Z
∴當(dāng)k=0或-1時(shí)，|z|min=

17

2

．
（3）P（z）對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x²cos（yπ），x²sin（yπ））
由題意：

y=x-9 x2sinyπ=x2cosyπ-9 x，y∈Z

得x²sin（xπ-9π）=x²cos（xπ-9π）-9
所以 x²sinxπ=x²cosxπ+9∵x∈Z
∴①當(dāng)x=2k，k∈Z時(shí)，得x²+9=0不成立；
②當(dāng)x=2k+1，k∈Z時(shí)，得x²-9=0∴x=±3成立
此時(shí)

x=3 y=-6

或 

x=-3 y=-12

即z=3-6i或z=-3-12i．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的概念和模長(zhǎng)的運(yùn)算，本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的條件，表示出復(fù)數(shù)的意義，本題與其他的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，是一個(gè)綜合題目．