Question

（本題滿分12分）

如下圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD 的頂點(diǎn)A、B 及CD的中點(diǎn)P 處，已知AB=20km,CB =10km ，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD 的區(qū)域上（含邊界），且與A、B等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO、BO、OP ，設(shè)排污管道的總長(zhǎng)度為km．

（1）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：         

①設(shè)∠BAO=(rad)，將表示成的函數(shù)；

②設(shè)OP(km) ，將表示成的函數(shù)．

（2）請(qǐng)選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的排污管道總長(zhǎng)度最短．

 

Answer 1

【答案】

（1）①，

②（2）

【解析】（1）①由條件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，則, 故，又OP＝，

所以，

所求函數(shù)關(guān)系式為       ………3分

②若OP=(km) ，則OQ＝10－，

所以O(shè)A =OB=

所求函數(shù)關(guān)系式為       ………6分

（2）選擇函數(shù)模型①，

 ………8分

令0 得sin ，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052020001871876714/SYS201205202002064687966343_DA.files/image015.png">，所以=，

當(dāng)時(shí)， ，是的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)， ，是的增函數(shù)，所以函數(shù)在=時(shí)取得極小值，這個(gè)極小值就是最小值． ．

這時(shí)(km)                         ………11分

因此，當(dāng)污水處理廠建在矩形區(qū)域內(nèi)且到A、B的距離均為(km)時(shí)，鋪設(shè)的排污管道總長(zhǎng)度最短．                                           ………12分